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DIE MATHEMATIK ALS SPRACHE DER WISSENSCHAFT

RAUMLEHRE


Nihil est in intellectu quod non (prius) fuerit in sensibus.
Nichts ist im Verstand, was nicht vorher in den Sinnen gewesen wäre.
(z. B. bei Aristoteles, Thomas von Aquin und John Locke)


Was ist mit dem Wort "Raum" gemeint?

Diese Alltagserfahrung dessen, was wir "Raum" nennen, ist so elementar, dass kaum jemand darüber nachdenkt, wie schwer es ist, dieser Vorstellung eine exakte, wissenschaftlich haltbare Definition zu geben.
Ich kann hier nur einige Überlegungen vorbringen, die vielleicht zum Nachdenken über den "Raum" anregen können, die "Raumfrage" kann ich damit natürlich nicht lösen.

Die Erfahrung des Raumes
Die philosophische Betrachtung des Raumes
Die Vermessung des Raumes als eine Wissenschaft
Warum verwende ich den Begriff "Raumlehre" statt der üblichen Bezeichnung
   "Geometrie"?
Der Zusammenhang von Raum und Zeit
Die Kopplung von Raum und Zeit
Der moderne Begriff der "Raumzeit"



Die Erfahrung des Raumes

Dem Begriff des Raumes und damit der Wissenschaft der "Raumlehre" bzw. Geometrie ging natürlich das voraus, was man "Raumerfahrung" nennt: das Wahrnehmen, das Erfahren und schließlich das  Wissen um eine Außenwelt.

Zuerst macht der Mensch die Erfahrung des eigenen Körpers als solchem.
Erst nach und nach kann das Neugeborene über den eigenen Körper hinaus die Beziehungen dieses Körpers zu anderen Körpern erfassen.
Er erlebt, dass es ein "Innen" und ein "Außen" gibt.
Mit der Zeit werden - im Wechselspiel zwischen Gesichtssinn und Tastsinn - Begriffe wie
"Ding", "Mama", "weit weg", "ganz nahe bei mir", "oben und unten", "im Zimmer" und "draußen"  usw. erfasst.  Der Raumbegriff als solcher entwickelt sich allmählich aus diesen  Anschauungen.  

Immer ist die Raumerfahrung eng mit der Körpererfahrung gekoppelt.
Parallel zu dieser Raumerfahrung sammelt der Mensch Erfahrungen zu den Eigenschaften der Körper, des eigenen und der, die ihn umgeben: schwer, leicht, hart, weich, groß, klein, farbig usw..
Eine Raumerfahrung ist ohne den Begriff des Körpers nicht mögliche, eine KörpererfahrungA1 kann nur "im Raum" sein. Der eine Begriff ist ohne den anderen "nicht denkbar".

Die philosophische Betrachtung des Raumes

"Räumlich" ist im weitesten Sinne ein Synonym für Außenwelt, für das Existierende schlechthin. Materie ist nur denkbar als "im Raum existierend". Letztlich sind "Raum" und "Materie" und "objektive Realität" (Wirklichkeit, Außenwelt, ...) immer nur (tautologisch) wechselbezüglich beschreibbar.
Der Raumbegriff ist ein so komplexer, ein so hoch philosophischer Begriff, dass man ihn rein über das Wissen, das in der Geometrie gelehrt wird, nicht erfassen kann.
Ich werde im Rahmen des (noch nicht getexteten) Themas "SEIN UND ABBILD" (in FREUDE AM ERKENNEN » WISSENSSCHATZ) auf dieses philosophische Problem eingehen.


Die Vermessung des Raumes als eine Wissenschaft

Geometrie nennt man nun die Wissenschaft, die sich genauer mit den messbaren Aspekten des Raumes befasst:   die mathematische Beschreibung, die Berechenbarkeit des Raumes, die "Quantifizierung" mit Hilfe verschiedener quantitativer, also messbarer Größen:
Es begann mit Fragen wie diesen:
Wie viel Wasser (wahlweise Bier oder oder Wein) passt in dieses Fass?
Welche Ackerfläche kann ich an einem Tag bestellen?
Wie kann ich eine Pyramide bauen?
Wie lang ist der Weg zwischen Berlin und München?
Wie vermesse ich die ganze Erde ganz genau?

Nach und nach wurden die Fragen abstrakter:
Wie groß ist das Volumen einer Kugel, eines Würfels?
Wie groß ist eine Kreisfläche?
Wie verhalten sich Volumen und Oberfläche eines Körpers zueinander?

Beziehungen zwischen den "räumlichen Dimensionen" wurden entdeckt:
Länge, Winkel, Fläche, Volumen,
Gerade, Kurve, Umfang einer Fläche,
Kreis, Viereck, Dreieck, Rhombus ("Raute"),
Kugel, Würfel, Quader, Pyramide, Kegel, Paraboloid,
Die Entdeckung der Zahl "Pi" (Π), der "Kreiszahl", dürfte eine Sensation gewesen sein, ebenso wie die Entdeckung des "Goldenen Schnitts" als Proportion zwischen Strecken oder Flächen, die von hoher Harmonie, Ästhetik, Schönheit sind.

Warum verwende ich den Begriff "Raumlehre" statt der üblichen Bezeichnung "Geometrie"?

Wenn ich in diesem Unterabschnitt der Mathematik den Begriff "Raumlehre" verwende, dann deshalb, weil ich ihn für genauer und für umfassender halte als die wörtliche Bedeutung der "Geometrie" als Erdvermessung und auch für umfassender als das, was im Mathematikunterricht darunter verstanden wird.

Die Vorstellungen von "Geometrie" sind eng an diesen Mathematikunterricht geknüpft. Viele Fragen der räumlichen Beziehungen bleiben dabei unerwähnt und unbeantwortet.
Mit  anderen Worten, in meiner Verwendung des Begriffs "Raumlehre" ist das, was gemeinhin unter "Geometrie" verstanden wird, enthalten, sie ist jedoch umfangreicher, umfassender als die "reine Geometrie".
Vor allem werden neben den rein mathematischen, geometrischen, quantitativen Darstellungen auch allgemeinere erkenntnistheoretische Fragen einbezogen werden.

In der folgenden Darstellung will ich am Beispiel des Begriffs der "Halbkugel" zeigen, wie ich das meine:
Aus dem Geometrieunterricht und der Alltagserfahrung sind wir es gewohnt, unter einer  Halbkugel eine durch einen ebenen Schnitt in zwei gleiche Hälften geteilte Kugel zu verstehen. Dass diese gewohnte Sichtweise sehr schnell zu Einschränkung der Vorstellungskraft und des Denkens führen kann, hat der Künstler Max Bill mit seinen Halbkugeln der etwas anderen Form sehr schön gezeigt.
Als ich die folgenden Fotos vor längerer Zeit in einem Wikipedia-Eintrag über den
Künstler Max Bill
fand, überraschten sie mich sehr. Mir wurde bewusst, wie sehr mein Denken in bestimmten Schablonen verläuft. Bis dahin hatte ich nur die erste der folgenden fünf Abbildung[Abbildungsnachweis] als "Halbkugel" gesehen, diese Form und keine andere:

die klassische Halbkugel
In diesem Fall ist die Grenzfläche der beiden Halbkugeln ein ebener Kreis, dessen Durchmesser mit dem Durchmesser der Kugel übereinstimmt.

Doch auch diese Abbildungen zeigen - schaut man genauer hin - "halbe Kugeln":
auch eine Halbkugel                   auch eine Halbkugel
Verbindet man zwei "Viertelkugeln"              Ähnlich wie bei der "Zweiviertelkugel"
in der oben gezeigten Form,                         ist es bei dieser "Drei-Sechstel-Kugel":
ergeben sie ebenfalls eine Halbkugel:          Auch hier ergeben zwei gleiche (!)
1/4 + 1/4 =  1 /2                                           Formen, wenn man sie zusammenfügt,
nimmt man zwei davon, kann man                eine ganze Kugel.
sie sehr schön zu einer ganzen Kugel 
 zusammenstecken.

auch eine Halbkugel                   auch eine Halbkugel
Diese Version einer Halbkugel                     Hier ist eine Hyperbel als Grenzkurve
nenne ich die "Tennisball-                            der zwei Halbkugeln  zu erkennen.
Halbkugel", weil die Grenze zweier             Steckt man zwei von ihnen zusammen
solcher Halbkugeln, wenn man sie              kann man sie von außen nicht von einer
zusammensteckt, die ganze Kugel              "normalen" Halbkugel unterscheiden.
wie einen Tennisball aussehen lässt.          Die von außen sichtbare Grenzlinie
                                                                    ist ein "Äquator", ein Großkreis.
(Die Originalkunstwerke stehen vor dem Mathematischen Institut der Universität Karlsruhe.)

Hat man das Prinzip der Halbkugel-Bildung des Künstlers Max Bill verstanden, sieht man sofort, dass unendlich viele Möglichkeiten bestehen, eine Kugel in zwei gleiche Hälften zu zerlegen  bzw aus zwei gleichen Teilen zusammenzufügen.

PS: Es ist aus meiner Sicht ziemlich erstaunlich, dass ein Viertel der Kugeloberfläche genau so groß ist wie die Fläche des "Durchmesser-Kreises".
Anders gesagt: die gewölbte Fläche einer Viertelkugel ist genauso groß wie die beiden ebenen (Schnitt-)Flächen zusammen.
Falls - wie ich vermute - im Geometrie-Unterricht die Flächen und die Körper in verschiedenen Unterrichtsabschnitten behandelt werden, wird dieser Zusammenhang kaum deutlich. Es sei denn, ein guter Mathematiklehrer weist ausdrücklich darauf hin.


Der Zusammenhang von Raum und Zeit

Die real existierende Welt ist nicht anders erfahrbar als "in Raum und Zeit".
Das, was wir versuchen, mit den beiden Begriffen "Raum" und "Zeit" zu beschreiben, ist in Wirklichkeit eine Einheit - diese existiert unabhängig davon, ob bzw. wie wir sie erkennen und beschreiben.
Es gibt nichts, dass nur im Raum oder nur in der Zeit ist. Alles räumlich Existierende ist der Veränderung in der Zeit unterworfen. Zeit ist an die Existenz des Raumes bzw. der diesen Raum füllenden Materie gebunden, existiert nicht "für sich" - es gibt keinen "abstrakten Raum" für sich und keine "abstrakte Zeit" für sich.
Zeit ist ein Hilfsbegriff, Veränderungen der Materie im Raum, also Bewegungen bzw. Prozesse, zu beschreiben.
Schon immer haben sich Menschen über diesen Zusammenhang zwischen Zeit und Raum Gedanken gemacht, war ihnen die "Kopplung von Raum und Zeit in der Erfahrung" die natürlichste Sache der Welt.
Die Raumlehre hat nun den Vorteil, dass unser Verstand mit ihrer Hilfe vom Begriff der Zeit abstrahieren kann, sich nur den Fragen des Raumes zuwendet.


Die Kopplung von Raum und Zeit in der Erfahrung

Die erste, die allgemeinste Erfahrung dieser "Kopplung von  Raum und Zeit" ist die eigene Bewegung. Etwas verändert sich, ich kann meine Lage im Raum verändern: ich kann mich vom Rücken auf den Bauch rollen, ich kann die Knie anziehen und auf allen Vieren krabbeln, ich kann  mich an den Stäben des Laufgitters hochziehen und im "Ställchen" rundherum laufen. Irgendwann steige ich aus diesem begrenzten Raum aus und laufe frei im Zimmer herum.
Später kommen Roller- und Dreiradfahren hinzu, Schaukel und Wippe bieten phantastische Bewegungserfahrungen. Beim Radfahren muss ich aufpassen, dass ich nicht "zu schnell" in die Kurve gehe.

Die Geschwindigkeit als elementarster physikalischer Begriff der Kopplung von Raum und Zeit ist längst praktisch erprobt, ehe dieses Phänomen im Unterricht in eine mathematische Gleichung gekleidet wird.
In der einfachsten  Form kennt sie jeder:
                                                v  =    s  / t
Dabei bedeuten:
              v - Geschwindigkeit.
              s - zurückgelegte Wegstrecke
              t - Zeit für diese Wegstrecke

Ein weiterer, Raum und Zeit koppelnder physikalischer Begriff (eigentlich sind es ja zwei) ist ebenfalls bereits praktisch erlebt - der der Beschleunigung und der "negativen Beschleunigung" (die im Alltag als "Bremsung" bekannt ist und die ggf. durchaus eine sehr unangenehme Erfahrung werden kann, wenn man nicht aufpasst).

Rennen, Springen, Schlittenfahren, Skifahren - was für eine Lust die Bewegung doch sein kann.
Mit dem Autofahren  kann der Mensch die Erfahrung  machen, die gern als "Rausch der Geschwindigkeit" erlebt und als Freiheitsgefühl empfunden wird. Früher war diese Erfahrung, diese Empfindung nur auf dem Rücken der Pferde möglich und bis heute ist das Reiten eine ganz besondere Bewegungsform geblieben.

Das Autofahren hat einen doppelten Reiz - ich erlebe mich in zwei Bezugssystemen:
Die als ruhend wahrgenommene Erdoberfläche als eigentliches Bezugssystem meiner Existenz zeigt mir, ob ich (ihr gegenüber) in Ruhe oder Bewegung bin. Beim Autofahren kann ich erfahren, wie es sich anfühlt, sich in zwei Bezugssystemen gleichzeitig zu befinden, einem ruhenden und einem gegenüber diesem ruhenden Bezugssystem selbst bewegten:
gegenüber der Erdoberfläche bewege ich mich, dem Auto gegenüber befinde ich mich im wesentlichen in Ruhe: meine Lage im Auto ändere ich nur wenig, der A...  bleibt immer am gleichen Fleck.
In diesem Beispiel wird auch anschaulich, was mit "relativer" Bewegung gemeint ist:
Bewegung kann immer nur in Bezug auf einen anderen Körper bzw. relativ zu einem anderen (größeren) Körper erfahren und definiert werden.

Ja, auch das sei nicht verschwiegen - die Fallbewegung als eine spezifische Form der Beschleunigung wird in praktischen "Experimenten" lange vorher ausprobiert, ehe man in der Schule etwas von Galilei, Newton und von der Erdanziehung bzw. Gravitation hört.
Hier kann es neben den unvermeidlich schmerzhaften Erfahrungen vor allem die lustvollen geben: vom Ballspiel  und Sprung ins Wasser bis zum Trampolin- und Fallschirmspringen.


Der moderne Begriff der Raumzeit

Ziemlich kompliziert wird es, wenn man den modernen Begriff der "Raumzeit" betrachtet.
In diesem Begriff sehen viele eine geniale Idee Einsteins, die Begriffe "Raum" und "Zeit" zu koppeln.
Viele glauben sogar, dass es vor Einstein keine diesbezüglichen Vorstellungen gegeben hat. Doch diese Frage gehört nicht hierher - sie wird   im Thema RAUMZEIT (in PHYSIK, anders gesehen) aufgegriffen und fortgeführt.


Anmerkung A1
Was passiert, wenn ein Mensch seinen Körper nicht mehr "wahrnimmt", wird z. B. sehr anschaulich in einem Artikel das Monatsmagazins GEOQuelle GEO  beschrieben: "Der Mann, der seinen Körper verlor" (Heft 01.2020, S. 130ff).
Der Artikel beginnt mit:
"Niemand kann nachempfinden, was es bedeutet, in Ian Watermans Haut zu stecken: vom Hals abwärts spürt er weder sich noch die Welt. Er hat den sechsten Sinn verloren, die Eigenwahrnehmung des Körpers. Sie verortet Arme und Beine im Raum und schafft so die Grundlage für gezielte Bewegungen. ..."
Seitenversion: neu 31.01.2020 
URL:   www.brunhild-krueger.de/gfp/gfp1-mathe/gfp16_raumlehre.html

Bearbeitungsnotizen:
• neu 31.01.2020

AKTLINK
• auf SEIN UND ABBILD verlinken, wenn die Seite getextet ist (WISSENSSCHATZ)

Hierher verlinkt von:
• Quellenverzeichnis - Abbildungsnachweis